Question

如圖，四邊形ABCO是矩形，點A（3，0），B（3，4），動點M、N分別從點O、B出發，都以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP∥OC，交AC于點P，連結MP，已知動點運動了x秒，△MPA的面積為S。
（1）求點P的坐標。（用含x的代數式表示）
（2）寫出S關于x的函數關系式，并求出S的最大值。
（3）當△APM與△ACO相似時，點P的位置有幾種情況？選擇一種，并求出點P的坐標。
（4）△PMA能否成為軸對稱圖形？如能，求出所有點P的坐標；如不能，說明理由。

Answer 1

解： （1）延長NP交x軸于點D。DA=x，OD=3-x， ∴△PDA∽△COA，
∴PD=x  ∴P（3-x，x）
（2）S=（3-x）·x=-x²+2x
∴由頂點坐標公式可求頂點(，)   ∴當x=，S_最大值=
（3）有三種情況
當△APM∽△ACO時，3-x=x，∴x=，∴p(，2)
（4）當PA=PM時, 3-x-x=x, ∴x=1 ∴P（2, )
當PA=AM時，PA=x，∴3-x=x，∴x=，∴P（，）
當PM=AM時，PM²=（3-2x）²+（x）²
∴（3-2x）²+（x）²=（3-2x）²
∴x=0或x=，∴P（3，0）或P（，）
∴P₁（2, )，P₂（，），P₃（3，0），P₄（，）