Question

【題目】已知AB//CD，點E為平面內一點，BE⊥CE于E

（1）如圖1，請直接寫出∠ABE和∠DCE之間的數量關系

（2）如圖2，過點E作EF⊥CD，垂足為F，求證：∠CEF=∠ABE

（3）如圖3，在（2）的條件下，作EG平分∠CEF，交DF于點G，作ED平分∠BEF，交CD于D，連接BD，若∠DBE＋∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠ECD＝90°＋∠ABE；（2）見解析；（3）105°

【解析】

（1）如圖1中，從BE交DC的延長線于H．利用三角形內角和定理即可證明；

（2）只要證明∠CEF與∠CEM互余，∠BEM與∠CEM互余，可得∠CEF＝∠BEM即可解決問題；

（3）如圖3中，設∠GEF＝，∠EDF＝．想辦法構建方程求出即可解決問題；

（1）結論：∠ECD＝90°＋∠ABE．

理由：如圖1中，延長BE交DC的延長線于H．

∵AB∥CH，

∴∠ABE＝∠H，

∵BE⊥CE，

∴∠CEH＝90°，

∴∠ECH＝180°∠CEH∠H＝180°90°∠H＝90°∠H，

∴∠ECD＝180°∠ECH＝180°（90°∠H）＝90°＋∠H，

∴∠ECD＝90°＋∠ABE．

（2）如圖2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BEM＝∠ABE，∠F＋∠FEM＝180°，

∵EF⊥CD，

∴∠F＝90°，

∴∠FEM＝90°，

∴∠CEF與∠CEM互余，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝90°，

∴∠BEM與∠CEM互余，

∴∠CEF＝∠BEM，

∴∠CEF＝∠ABE．

（3）如圖3中，設∠GEF＝，∠EDF＝．

∴∠BDE＝3∠GEF＝3，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEF＝2∠FEG＝2，

∴∠ABE＝∠CEF＝2，

∵AB∥CD∥EM，

∴∠MED＝∠EDF＝，∠KBD＝∠BDF＝3＋，∠ABD＋∠BDF＝180°，

∴∠BED＝∠BEM＋∠MED＝2＋，

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED＝∠FED＝2＋，

∴∠DEC＝，

∵∠BEC＝90°，

∴2＋2＝90°，

∵∠DBE＋∠ABD＝180°，∠ABD＋∠BDF＝180°，

∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE＋∠EDF＝3＋，

∵∠ABK＝180°，

∴∠ABE＋∠B＝DBE＋∠KBD＝180°，

即2＋（3＋）＋（3α＋）＝180°，

∴6＋（2＋2）＝180°，

∴＝15°，

∴∠BEG＝∠BEC＋∠CEG＝90°＋15°＝105°．