Question

【題目】平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸正半軸、y軸正半軸上，AO=BO，△ABO的面積為8.

（1）求點A的坐標；

（2）點C、D分別在x軸負半軸、y軸正半軸上（D在B點上方），AB⊥CD于E，設點D縱坐標為t，△BCE的面積為S，求S與t的函數關系；

（3）在（2）的條件下，點F為BE中點，連接OF交BC于G，當∠FOB+∠DAE=45°時，求點E坐標.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的面積公式構建方程即可解決問題．

（2）證明△CEA和△COD是等腰直角三角形，由EN⊥AC，推出，AC=4+t，根據S=S△AEC-S△ABC計算即可．

（3）過點F作FM⊥AC于點M，由（2）求出點F的坐標為，從而得到

，，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB+∠DAE=45°，得出∠FOB=∠BDA，進而得出∠MFO=∠ODA，tan∠MFO =tan∠ODA，故而，

即，解出t的值，再求點E的坐標即可.

（1）由題意可得：，

∴OA2=16，

∵OA＞0，

∴OA=OB=4，

∴A（4，0），B（0，4）．

（2）如圖，過點E作EN⊥AC于點N．

∵∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵AB⊥CD，

∴∠CEA=90°，

∴∠ECA=45°，

∴△CEA是等腰直角三角形，

∵∠ECA=45°，∠COD=90°，

∴∠CDO=45°，

∴△CDO是等腰直角三角形.

∵點D縱坐標為t，

∴CO=DO=t.

∵OA=OB=4,

∴AC=t+4.

∴，

∴；

∴S與t的函數關系是：.

（3）如圖，過點F作FM⊥AC于點M，

由（2）可知，，

∴，

∴點E的坐標為，

∵點B（0,4），點F為BE中點，

∴點F的坐標為，

∴，，

∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB+∠DAE=45°，

∴∠FOB=∠BDA，

∴OF∥AD，

∵FM⊥AC，

∴FM∥DO，

∴∠MFO=∠ODA，

∴tan∠MFO =tan∠ODA，

∴，

即，

解得t=12或4=-4（不合題意，舍去）

∴點E的坐標為.