Question

已知反比例函數和二次函數y₂=-x²+bx+c的圖象都過點A（-1，2）
（1）求k的值及b、c的數量關系式（用c的代數式表示b）；
（2）若兩函數的圖象除公共點A外，另外還有兩個公共點B（m，1）、C（1，n），試在如圖所示的直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象，并利用圖象回答，x為何值時，y₁＜y₂；
（3）當c值滿足什么條件時，函數y₂=-x²+bx+c在x≤-的范圍內隨x的增大而增大？

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A的坐標代入兩函數的解析式中即可得出k的值，以及b與c的數量關系．
（2）在（1）中已得出了反比例函數的解析式，那么可根據B，C兩點都在反比例函數上可求出B，C的坐標，然后根據B，C的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．進而可根據兩函數的解析式來得出函數的圖形，以及y₁＞y₂時，x的取值范圍．
（3）由于拋物線開口向下，因此對稱軸左邊，拋物線上的點都是隨x的增大而增大，那么對稱軸-≥-，然后再根據（1）中b，c的大小關系即可求出c的取值范圍．
解答：解：（1）將A（-1，2）代入反比例函數中，
可得k=（-1）×2=-2，
將A（-1，2）代入二次函數y₂=-x²+bx+c
可得2=-1-b+c，
即b=c-3．

（2）由題意可知，B的坐標為（-2，1），C的坐標為（1，-2）．
反比例函數的解析式為y₁=-，
拋物線的解析式為y₂=-x²-2x+1．

（3）如圖：
由圖可知：當-2＜x＜-1和0＜x＜1時，y₁＜y₂．
即，-≥-，
解得c≥2．
點評：本題主要考查了反比例函數和二次函數的綜合知識，利用條件來確定b，c的值或數量關系是解題的關鍵．