Question

如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m(m＞4)，點P是AB邊上的任意一點(不與A、B重合)，連結PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．

(1)當m＝10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；

(2)連結AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(用含m的代數式表示)

(3)若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)假設當m＝10時，存在點P使得點Q與點C重合(如下圖)， 　　∵PQ⊥PD∴∠DPC＝90°，∴∠APD＋∠BPC＝90°， 　　又∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠BPC＝∠ADP， 　　又∠B＝∠A＝90°，∴△PBC∽△DAP，∴， 　　∴，∴或8，∴存在點P使得點Q與點C重合，出此時AP的長2或8． 　　(2)如下圖，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠BAC，∵∠BPQ＝∠ADP，∴∠BAC＝∠ADP，又∠B＝∠DAP＝90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴． 　　∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴． 　　(3)由已知PQ⊥PD，所以只有當DP＝PQ時，△PQD為等腰三角形(如圖)， 　　∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°，∴△PBQ≌△DAP， 　　∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝， 　　∴以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數關系式為：S四邊形PQCD＝S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP＝ 　　＝＝16(4＜≤8)．