Question

【題目】如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A，B，且OA，OB的長(OA > OB)是方程x2-10x +24=0的兩個根，P(m，n)是第一象限內直線y=kx+b上的一個動點(點P不與點A，B重合).

（1）求直線AB的解析式；

（2）C是x軸上一點，且OC=2，求△ACP的面積S與m之間的函數關系式；

（3）在x軸上是否存在點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）當C點在x正半軸時，；當C點在x負半軸時， ；（3）存在. Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.

【解析】

（1）用待定系數法求直線表達式即可；（2）根據題意得出AC=4或8，根據面積公式計算；（3）根據等腰三角形的判斷，分別以滿足AQ=AB=，BQ=AB=,QA=QB三種情況進行討論計算，從而求Q點坐標.

解:(1) ∵x2-10x+24=0，

(x -4)(x-6)=0，

∴x1 =4，x2 =6.

∵OA，OB的長是方程的兩個根，且OA > OB，

∴OA =6，OB =4.

∴A(6，0)，B(0，4).

把點A(6，0)，B(0，4)代人y=kx +b中， ，解得

∴直線AB的解析式為 .

(2) ∵直線AB的解析式為，點P(m，n)在直線AB上，

∴點P的縱坐標為,

當點C在x軸正半軸上時，0C=2，AC=4，

= ;

當點C在x軸負半軸上時，OC=2，AC=8，

= .

(3)存在.Q1(-6，0)，Q2(6- 2，0)，Q3，Q4(6+2，0).理由如下：

∵A(6，0)，B(0，4)，∴AB= .當△ABQ為等腰三角形，分三種情況：

①如圖，當AQ=AB=時

Q點坐標為Q1(6- ,0)或Q2(6+ ,0)；

②如圖，當BQ=BA=時

OA=OQ3=6，Q點坐標為Q3（-6，0）；

③如圖，當QA=QB時

設OQ4=t,則Q4A=Q4B=6-t,根據勾股定理得

42+t2=(6-t)2,

解得，t=

∴Q點坐標為Q4（，0）.

綜上所述，符合題中條件的Q點有4個，坐標分別為Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.