Question

直線y=-x+4與x，y軸交于A，B兩點，在坐標平面上有一點P，⊙P的半徑為6．
（1）求A，B兩點坐標．
（2）若點P在直線y=-x+4上，且與x軸相切，求點P坐標．
（3）若⊙P與x軸和直線y=-x+4都相切，求點P坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線解析式，易求A，B點坐標；
（2）由題意知點P在坐標軸上，說的很模糊，所以要分類討論，再根據圓的性質及相切的條件，又知道圓的半徑，從而求出每種情況的P點坐標；
（3）分P有四種情況，根據勾股定理求得P到選、軸的距離即可求得P的橫坐標，則P的坐標可以求得．
解答：解：（1）當x=0時，y=4，
當y=0時，-x+4=0，解得x=3．
故A（3，0），B（0，4）；

（2）在y=-x+4中當y=6時，-x+4=6，解得：x=-，則P的坐標是：（-，6）；
在y=-x+4中當y=-6時，-x+4=-6，解得：x=，則P的坐標是（，-6）；

（3）當P的位置如①時，
連接P與切點E，F，則PE⊥x軸，PF⊥AB，作PG∥x軸，交AB于點G，作GH⊥x軸于H．則PE=PF=GH=6，
在直角△AHG和直角△PFG中，==，
∴AH=GF=，
∴OH=AH-OA=-3=，即H的坐標是（-，0），
PG===，
∴OE=OH+EH=OH+PG=+=9，則P的坐標是：（-9，6）；

當P的位置如圖②所示時，同①可以得到：AH=GF=，PG===，
∴OH=AH-OA=-3=，
∴OE=PG-OH=-=6，
則P的坐標是（6，6）；

當P的位置如圖③時，同①可得：AH=，PG=
則OH=OA+AH=3+=，
∴OE=OH-EH=OH-PG=-=0，則P的坐標是（0，-6）；

當P如圖④所示時，
AH=，GP=HE=，
∴OE=OA+AH+HE=3++=15，
則P的坐標是（15，-6）．
總之，P的坐標是：（-9，6）或（6，6）或（0，-6）或（15，-6）．
點評：本題考查了一次函數與圓的切線的性質，勾股定理的綜合應用，正確分情況討論是關鍵．