Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACQP的面積最小，最小值是多少？

（3）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t＝1或t＝時(shí)；（2）當(dāng)t=1時(shí)，面積最小為18；（3）．

【解析】【試題分析】（1）分類討論： ，①當(dāng)△BPQ△BAC時(shí)，

則＝，又因?yàn)?/span>BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

所以＝，解得：t＝1；

②當(dāng)△BPQ△BCA時(shí)，則＝，即＝，解得：t＝．

綜合上述：當(dāng)t＝1或t＝時(shí)，△BPQ與△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于點(diǎn)D．根據(jù)四邊形ACQP的面積等于總面積減去 的面積，設(shè)四邊形ACQP的面積為y，由題意得：

∵6＞0，∴當(dāng)t=1時(shí)，面積最小為18．

（3）過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)AQ與CP相交于點(diǎn)N，則有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．

【試題解析】

（1）①△BPQ與△ABC相似時(shí)，

則＝，

∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴＝，解得：t＝1；

②△BPQ與△BCA相似時(shí)，

則＝，即＝，

解得：t＝．

綜合上述：當(dāng)t＝1或t＝時(shí)，△BPQ與△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于點(diǎn)D．

設(shè)四邊形ACQP的面積為y，由題意得：

∵6＞0，∴當(dāng)t=1時(shí)，面積最小為18．

（3）過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)AQ與CP相交于點(diǎn)N，則有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．