Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）連接AD并延長交BE于點F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結論．
（2）過點D作DH⊥AB，根據sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質得出比例式即可解出BF的長．
解答：證明：（1）連接OC，

∵OD⊥BC，
∴∠COF=∠BOF，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半徑，
∴BE與⊙O相切．

（2）過點D作DH⊥AB，連接AD并延長交BE于點F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴==
又∵sin∠ABC=，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=，即=，
∴OH=4，
∴DH==2，
又∵△ADH∽△AFB，
∴=，=，
∴FB=．
點評：此題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握切線的判定定理，在第二問的求解中，一定要注意相似三角形的性質的運用．