Question

如圖所示，在正方形ABCD的對角線上取點E，使得∠BAE=，連結AE，CE．延長CE到F，連結BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結論：①AE=CE； ②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正確的個數是

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

B

試題分析：根據正方形的性質推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，證△ABE≌△CBE，即可判斷①；過F作FH⊥BC于H，根據直角三角形的性質即可求出FH；過A作AM⊥BD交于M，根據勾股定理求出BD，根據三角形的面積公式即可求出高AM，根據三角形的面積公式求出即可．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正確；
過F作FH⊥BC于H，

∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=BF=，∴②錯誤；
∵Rt△BHF中，FH=，BF=1，

∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴AE=CE，
在EF上取一點N，使BN=BE，

又∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE為等邊三角形，
∴∠ENB=60°，又∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，又∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，又BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可證△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正確；
過A作AM⊥BD交于M，
根據勾股定理求出BD=，
由面積公式得：AD×AB=BD×AM，解得
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴，
∴，∴④錯誤；

故選B.
點評：本題知識點多，綜合性強，是中考常見題，綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵．