Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，且BD⊥DC，E為BC中點，AB＝DE．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）若∠C＝60°，CD＝4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）12

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推出BE＝ED＝EC，再由邊關系推出角相等進而推出平行，由雙平行推出平行四邊形，加上鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可以推出結論．

（2）作DF⊥BC于F，利用的直角三角形，求出DF的長度，再由梯形的面積公式即可求出．

證明：（1）∵BD⊥DC，E為BC中點，

∴BE＝ED＝EC，

∴∠DBE＝∠BDE；

又AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBE，

∴∠ADB＝∠BDE，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB

∴∠BDE＝∠ABD

∴DE∥AB

又∵AD∥BC，即AD∥BE，

∴四邊形ABCD為平行四邊形

又AB＝AD，

∴平行四邊形ABCD為菱形．

（2）由（1）得，BE＝EC＝AD＝DE，

∵∠C＝60°，

∴△DEC為等邊三角形．

作DF⊥BC于F，則 ，

BC＝2BE＝2AD＝8，

∴S梯形ABCD＝ （AD+BC）×DF＝×（4+8）×2 ＝12．