Question

【題目】如圖（1），，，垂足為A，B，，點在線段上以每秒2的速度由點向點運動，同時點在線段上由點向點運動．它們運動的時間為（）．

（1）　　　　 ，　　　　 ；（用的代數式表示）

（2）如點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，并判斷此時線段和線段的位置關系，請分別說明理由；

（3）如圖（2），將圖（1）中的“，”，改為“”，其他條件不變．設點的運動速度為，是否存在有理數，與是否全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t，8-2t；（2）△ADP與△BPQ全等，線段PD與線段PQ垂直，理由見解析；（3）存在或，使得△ADP與△BPQ全等．

【解析】

（1）根據題意直接可得答案.

（2）由t=1可得△ACP和△BPQ中各邊的長，由SAS推出△ACP≌△BPQ，進而根據全等三角形性質得∠APC+∠BPQ=90°，據此判斷線段PC和PQ的位置關系；

（3）假設△ACP≌△BPQ，用t和x表示出邊長，根據對應邊相等解出t和x的值；

再假設△ACP≌△BQP，用上步的方法求解，注意此時的對應邊和上步不一樣.

（1）由題意得：2t，8-2t．

（2）△ADP與△BPQ全等，線段PD與線段PQ垂直．

理由如下：

當t=1時，AP=BQ=2，BP=AD=6，

又∠A=∠B=90°，

在△ADP和△BPQ中，

，∴△ADP△BPQ（SAS），∴∠ADP=∠BPQ，∴∠APD+∠BPQ=∠APD+∠ADP=90°，∴∠DPQ=90°，即線段PD與線段PQ垂直．

（3）①若△ADP△BPQ，

則AD=BP，，AP=BQ，

則，

解得；

②若△ADP△BQP，

則AD=BQ，AP=BP，

則，

解得：；

綜上所述：存在或，使得△ADP與△BPQ全等．