Question

如圖①，△ABC內接于⊙O，點P是△ABC的內切圓的圓心，AP交邊BC于點D，交⊙O于點E，經過點E作⊙O的切線分別交AB、AC延長線于點F、G．
（1）求證：BC∥FG；
（2）探究：PE與DE和AE之間的關系；
（3）當圖①中的FE=AB時，如圖②，若FB=3，CG=2，求AG的長．

Answer 1

分析：（1）連接BE．構造了一對內錯角，根據三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，結合弦切角定理和圓周角定理的推論即可證明內錯角相等，從而證明平行；
（2）連接BP．根據三角形的內心的概念以及三角形的外角的性質，可以得到一個等腰三角形，即BE=PE，根據相似三角形的性質可以把要找的線段之間的關系聯系起來；
（3）結合（2）的結論首先求得AB的長，再根據平行線分線段成比例定理求得AG的長．

解答：（1）證明：連接BE，
∵點P是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．

（2）解：連接BP，
則∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴

BE

AE

=

DE

BE

．
∴BE²=AE•DE．
∴PE²=AE•DE．

（3）解：∵FE²=FB•FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
設AB=x，則x²-3x-9=0，
解之得x=

3+3 5

2

．
∴AB=

3+3 5

2

（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴

AB

BF

=

AC

CG

．
∴AC=

AB•CG

BF

=

3+3 5

2

×

2

3

=1+

5

．
∴AG=AC+CG=3+

5

．

點評：綜合運用了三角形的內心的概念、弦切角定理、圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質．