Question

如圖，平面直角坐標系中，⊙O的圓心O為坐標原點，半徑為1．長始終為的線段PQ的一個端點Q在⊙O上運動，另一個端點P也隨之在x軸的負半軸上移動．在運動過程中：
（1）當線段PQ所在的直線與⊙O相切時，求P點的坐標；
（2）當∠OPQ最大時，求直線PQ的解析式；
（3）當∠OPQ=30°時，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，連接OQ，則OQ⊥QP．利用勾股定理求出OP，繼而可求出點P的坐標；
（2）當∠OPQ最大時，點Q運動到⊙O與y軸交點，利用勾股定理求出OP的值繼而求出坐標P，Q．然后可求出直線PQ的解析式；
（3）依題意連接OQ，作QM⊥OP．在Rt△QPM中，PQ=，∠OPQ=30°，可求出QM的值，又因為在Rt△QOM中OM=，可求出點Q的坐標．
解答：解：（本題12分）
（1）當線段PQ所在的直線與⊙O相切時，連接OQ，則OQ⊥QP，（1分）
在Rt△OPQ中，PQ=，OQ=1，則OP=，（2分）
所以點P（-，0）；（3分）

（2）當∠OPQ最大時，點Q運動到⊙O與y軸交點，（4分）
在Rt△OPQ中，PQ=，OQ=1，則OP=1，
所以點P（-1，0），點Q（0，1）或（0，-1），
所以直線PQ的解析式為y=x+1或y=-x-1；（8分）

（3）當∠OPQ=30°時，連接OQ，作QM⊥OP于點M，
在Rt△QPM中，PQ=，∠OPQ=30°，則QM=，
在Rt△QOM中，OM=，
所以點Q₁（-，）；Q₂（-，）；Q₃（，）；Q₄（，-）．    （12分）
點評：本題綜合的是切線的性質以及一次函數的綜合運用，難度中等．