Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數綜合題。

專題：

綜合題；分類討論。

分析：

(1)直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．

(2)由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

解答：

解：(1)將A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝ax²＋bx＋c中，得：

，解得：

∴拋物線的解析式：y＝－x²＋2x＋3．

(2)連接BC，直線BC與直線l的交點為P；

設直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數關系式y＝－x＋3；

當x－1時，y＝2，即P的坐標(1，2)．

(3)拋物線的解析式為：x＝－＝1，設M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，則：

MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10；

①若MA＝MC，則MA²＝MC²，得：

m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1；

②若MA＝AC，則MA²＝AC²，得：

m²＋4＝10，得：m＝±；

③若MC＝AC，則MC²＝AC²，得：

m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；

當m＝6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

點評：

該二次函數綜合題涉及了拋物線的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時，一定要根據不同的腰和底分類進行討論，以免漏解．