Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…，如此進行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．下列結論正確的有（　　）
①四邊形A₂B₂C₂D₂是矩形；   
②四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是

a+b

4

④四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

．

• A、①②
• B、②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：首先根據題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關系規律，然后對以下選項作出分析與判斷：
①根據矩形的判定與性質作出判斷；
②根據菱形的判定與性質作出判斷；
③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計算四邊形A₅B₅C₅D₅的周長；
④根據四邊形A_nB_nC_nD_n的面積與四邊形ABCD的面積間的數量關系來求其面積．

解答：解：①連接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC丄BD，∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的兩條對角線相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
故本選項錯誤；

②由①知，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
∴根據中位線定理知，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本選項正確；

③根據中位線的性質易知，A₅B₅=

1

2

A₃B₃=

1

2

×

1

2

A₁B₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

AC，B₅C₅=

1

2

B₃C₃=

1

2

×

1

2

B₁C₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

BD，
∴四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是2×

1

8

（a+b）=

a+b

4

；
故本選項正確；

④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

；
故本選項正確；
綜上所述，②③④正確．
故選C．

點評：本題主要考查了菱形的判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關系．