Question

【題目】已知：拋物線y＝a(x－m)(x＋3m)（a＜0，m＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線l：y＝kx＋b經過點B，且與該拋物線有唯一公共點，平移直線l交拋物線于M、N兩點（點M、N分別位于x軸上方和下方）

(1) 若，C(0，)

① 求該拋物線的解析式

② 如圖1，連接AM、AN，求證：∠MAB＝∠NAB

(2) 如圖2，連接MC．若MC∥x軸，求的值

Answer 1

【答案】（1）①；② 證明見解析；（2）

【解析】（1）①利用a的值和點C的坐標，代入求解即可得到函數的解析式；

②過點M作MD⊥x軸于D，過點N作NE⊥x軸于E，由一次函數和二次函數的解析式聯立方程組求參數的值，然后得出直線MN，聯立方程組求出AD·NE－AE·MD=0，證明△MDA∽△NEA即可得解；

（2）設直線l：y＝kx＋b，聯立方程組，化簡后通過一元一次方程的根的判別式和線段的長求出比例即可.

(1) ① 當時，

將C(0，)代入中，得，m＝±1

∵m＞0

∴m＝1

∴

② 過點M作MD⊥x軸于D，過點N作NE⊥x軸于E

設直線l：y＝kx－k，M(x1，y1)、N(x2，y2)

聯立，整理得

∵直線l與拋物線只有一個公共點

∴△＝4(k＋2)2＝0，解得k＝－2

設直線MN：y＝－2x＋t

聯立，整理得x2－2x＋2t－3＝0

∴x1＋x2＝2，x1x2＝2t－3

∴AD·NE－AE·MD＝(x1＋3)(－y2)－(x2＋3)y1＝4x1x2＋(6－t)(x1＋x2)－6t

＝4(2t－3)＋(6－t)·2－6t＝0

∴AD·NE＝AE·MD

即

又∠MDA＝∠NEA＝90°

∴△MDA∽△NEA

∴∠MAB＝∠NAB

(2) y＝a(x2＋2mx－3m2)＝ax2＋2amx－3am2

設直線l：y＝kx＋b

將B(m，0)代入y＝kx＋b得，km＋b＝0，b＝－km

∴y＝kx－km

聯立，整理得ax2＋(2am－k)x－3am2＋km＝0

∴△＝(2am－k)2－4a(－3am2＋km)＝0，得k＝4am

∴直線l：y＝4amx－4am2

∴M(－2m，－3am2)

∴直線MN的解析式為：y＝4amx＋5am2

聯立，整理得ax2－2amx－8am2＝0

∴xM·xN＝－8m2

又xM＝－2m

∴xN＝4m

∴N(4m，21am2)

∴AM2＝m2＋9a2m4，AN2＝49m2＋212a2m4

∴，.