Question

已知△ABC中，∠ACB=135°，將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AED，連接CD，CE．
（1）求證：△ACD為等腰直角三角形；
（2）若BC=1，AC=2，求四邊形ACED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于△AED是△ABC旋轉90°得到的，根據旋轉的性質易得∠CAD=90°，AC=AD，∠ADE=∠ACB=135°，易證△ACD是等腰直角三角形；
（2）根據（1）知△ACD是等腰直角三角形，那么∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2，根據勾股定理可求CD，又由∠ADE=135°，易求∠CDE=90°，那么易知S_{四邊形ADEC}=S_△ACD+S_△CDE再根據三角形面積公式易求四邊形的面積．
解答：證明：（1）∵△AED是△ABC旋轉90°得到的，
∴△ABC≌△AED，
∴∠CAD=90°，AC=AD，∠ADE=∠ACB=135°，
∴△ACD是等腰直角三角形；

解：（2）∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2，
∴CD==2，
由（1）知，∠ADE=135°，
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=90°，
∵DE=BC=1，
∴S_{四邊形ADEC}=S_△ACD+S_△CDE=AC•AD+CD•DE=×2×2+×2×1=2+．
點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質，解題的關鍵是先證明△ACD是等腰直角三角形，并證明△CDE是直角三角形．