Question

（2012•工業園區一模）在△ABC中，AB=AC=5，∠A是銳角，sinA=

24

25

，
（1）如圖1，作BD⊥AC垂足為D，求BD、BC的長：
（2）如圖2，小明同學過點A作AE⊥BC垂足為E，他發現直線AE平分△ABC的周長和面積，他想是否還存在其它平分△ABC的周長和面積的直線？請你參與小明的探究，如果存在，請說明理由，同時指出有幾條直線．（注：備用圖不夠用可以重新畫圖）

Answer 1

分析：（1）由BD垂直于AC，得到三角形ABD為直角三角形，根據AB及sinA的值，利用銳角三角函數定義求出BD及AD的長，再由AC-AD求出DC的長，在直角三角形BDC中，利用勾股定理即可求出BC的長；
（2）還存在2條其它平分△ABC的周長和面積的直線，理由為：若直線經過B（或C）點，由直線平分△ABC的面積，則直線必經過AC（或AB）的中點，而此時直線必不平分△ABC的周長，故直線不經過△ABC的頂點，分兩種情況考慮：（i）直線與AB（或AC）、BC相交，設直線與AB、BC相交于點D、E，過A、D分別作BC的垂線，垂足為F、H點，如備用圖1所示，假設DE平分三角形的周長，設BD=5k，則DF=4k，BE=8-5k，利用三角形的面積公式表示出BDF的面積，根據此三角形面積為三角形ABC面積的一半列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，過D、E的直線就是所求的，同理AC，BC相交的直線也存在一條；（ii）直線與AB，AC相交，設直線與AB，AC分別交于D，E，過D作DF⊥AC，垂足為F點，如備用圖2所示，設AE=x，則AD=8-x，根據三角形ADE的面積為三角形ABC面積的一半列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，經判斷不合題意，舍去，綜上，得到滿足題意的直線有2條．

解答：解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD中，AB=AC=5，sinA=

24

25

，
∴BD=ABsinA=5×

24

25

=

24

5

，
∴根據勾股定理得：AD=

25-( 24 5 )2

=

7

5

，
∴DC=AC-AD=5-

7

5

=

18

5

，
在Rt△BCD中，根據勾股定理得：BC=

( 18 5 )2+( 24 5 )2

=6；
（2）還存在2條其它平分△ABC的周長和面積的直線，理由為：
若直線經過B（或C）點，由直線平分△ABC的面積，則直線必經過AC（或AB）的中點，
而此時直線必不平分△ABC的周長，故直線不經過△ABC的頂點，
分兩種情況考慮：
（i）直線與AB（或AC）、BC相交，設直線與AB、BC相交于點D、E，過A、D分別作BC的垂線，垂足為F、H點，
如備用圖1所示：
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=3，
在Rt△ABH中，根據勾股定理得：AH=

AB2-BH2

=4，
∴∠DFB=∠AHB=90°，又∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAH，
∴BF：FD：BD=BH：AH：AB=3：4：5，
又∵三角形ABC的周長為5+5+6=16，
∴BD+BE=8，
設BD=5k，則DF=4k，BE=8-5k，
∴S_△BDE=

1

2

S_△ABC=

1

4

BC•AH=6，即

1

2

BE•DF=

4k(8-5k)

2

=6，
整理得：5k²-8k+3=0，
解得：k=

3

5

或k=1（舍去），
這時在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，過D、E的直線就是所求的，
同理AC，BC相交的直線也存在一條；
（ii）直線與AB，AC相交，設直線與AB，AC分別交于D，E，過D作DF⊥AC，垂足為F點，
如備用圖2所示：
設AE=x，則AD=8-x，
∵在Rt△ADF中，sinA=

24

25

，
∴DF=ADsinA=

24

25

（8-x），
當S_△AED=

1

2

AE•DF=

1

2

•x•

24

25

（8-x）=6，
整理得：2x²-16x+25=0，
解得：x₁=4+

14

2

＞5（舍去），x₂=4-

14

2

，
則AD=8-x=4+

14

2

＞5（不合題意，舍去），
綜上，還存在2條其它平分△ABC的周長和面積的直線．

點評：此題考查了相似性綜合題，涉及的知識有：勾股定理，銳角三角函數定義，一元二次方程的應用，以及解直角三角形，利用了數形結合及分類討論的思想，是一道多知識的探究題．