Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB、AC分別交于點D，E，DF⊥AC于點F．

（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若⊙O的直徑為20，cosB= ，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴點D是AB的中點

（2）解：DF與⊙O相切，如圖2，連接OD，

∵O是BC的中點，點D是AB的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF與⊙O相切

（3）證明：如圖3，連接OE、BE，

∵cos∠ABC= ，

∴∠ABC=60°，

∵AC=BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ECB=60°，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∴∠EOC=60°，

∵BC=20，

∴EC=10，

由勾股定理得：BE= =10 ，

∴S△OEC= S△BEC= × BECE= ×10 ×10=25 ，

∴S陰影=S扇形OEC﹣S△OEC= ﹣25 = ﹣25 ．

【解析】（1）連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角為90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三線合一得出結論；（2）根據(jù)中位線的定義可以知道：OD是△ABC的中位線，則OD∥AC，因為DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF與⊙O相切；（3）如圖3，連接OE、BE，先根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，求出直角△BEC各邊的長，就可以求其面積，根據(jù)中線的性質可知△OEC的面積就是△BEC面積的﹣半，所求的陰影面積是扇形面積與△OEC的面積的差．