Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+與x軸交于點A，與y軸交于點B；拋物線y=ax2+bx+（a≠0）過A，B兩點，與x軸交于另一點C（﹣1，0），拋物線的頂點為D．

（1）求出A，B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點E，求出點E到直線AB的距離的最大值；

（4）如圖2，直線AB與拋物線的對稱軸相交于點F，點P在坐標軸上，且點P到直線BD，DF的距離相等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點AB的坐標分別為（3，0）、（0，）；（2）y＝﹣x2+x+，D的坐標為（1，3）；（3）當x＝時，EF有最大值為；（4）點P的坐標為（0，1）或（﹣，0）或（0，）或（7，0）．

【解析】

（1）令x=0，則y，令y=0，則x=3，即可求解；

（2）將點A、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，即可求解；

（3）E到直線AB的距離=EF=EHsin∠FHE=EHcos∠BAC，即可求解；

（4）分當點P在∠BDF平分線上、外角平分線上兩種情況，分別求解即可．

（1）令x=0，則y，令y=0，則x=3，即點A的坐標為（3，0）、B的坐標（0，）；

（2）將點A、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，拋物線的表達式為：yx2x，定點D的坐標為（1，3）；

（3）過點E作EH∥y軸交AB于點H，過點E作EF⊥AB．設E（x，），則H（x，），∴EH==．

∵A的坐標為（3，0）、B的坐標（0，），∴OA=3，OB=，∴AB=，∴cos∠BAC=．

E到直線AB的距離=EF=EHsin∠FHE=EHcos∠BAC=（）x2x=，當x時，EF有最大值為；

（4）①當點P在∠BDF平分線上時，則角平分線與y軸的交點P1、x軸的交點P2為所求．

過點P1作⊥DM交于點M，作P1N⊥BD交于點N，則：P1M=P1N=1，將點B、D坐標代入一次函數表達式并解得：函數表達式為：yx，則點H坐標（﹣3，0），∴HB=．

∵sin∠P1BN=sin∠HOB，，∴，∴BP1∴OP1==1，∴故點P1（0，1），則直線DP1的表達式為：y=2x+1，令y=0，則x，即點P2（，0）；

②當點P在當點P在∠BDF的外交平分線上時，此時點P所在的直線與直線P1P2所在的直線垂直，設直線PD的解析式為y=，把D（1，3）代入得：b=，∴y=，令x=0，得y=，令y=0，得x=7，∴點P的坐標為（0，）或（7，0）；

綜上所述：點P的坐標為（0，1）或（，0）或（0，）或（7，0）．