Question

如圖，矩形ABCD中，E是BC邊上的一點，連接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，點C恰好落在AE上，記為點F．
（Ⅰ）求證：△ADF≌△EAB；
（Ⅱ）若AD=10，tan∠EDF=，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據翻折不變性得到△DCE≌△DFE，根據全等三角形的性質得到DC=DF，∠DFE=∠C=90°，再根據矩形的性質得到∠DAE=∠AEB，AB=DF，從而得到△ADF≌△EAB；
（Ⅱ）根據tan∠EDF==，設EF=x，則DF=3x，從而用含x的代數式表示出AF，再在Rt△ADF中，根據勾股定理求出x的長．
解答：（Ⅰ）證明：∵△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴△DCE≌△DFE，
∴DC=DF，∠DFE=∠C=90°，…（2分）
又矩形ABCD中AD∥BC，AB=CD，∠B=90．
∴∠DAE=∠AEB，AB=DF．…（4分）
在△ADF與△EAB中，，
∴△ADF≌△EAB．…（6分）
（Ⅱ）Rt△DFE中，tan∠EDF==，
設EF=x，則DF=3x，…（7分）
∴AF=AE-EF=AD-EF=10-x，
在Rt△ADF中，AF²+DF²=AD²，
∴（10-x）²+（3x）²=10²，
解得x=2．…（10分）
∴DC=DF=3x=6，
∴S_矩形ABCD=10×6=60．…（12分）
點評：本題考查了翻折變換、全等三角形的判定與性質、勾股定理、矩形的性質、銳角三角形的性質，綜合性較強．