Question

如圖，在某圓錐形燈罩的軸截面中，OA=OB，∠AOB=60°，已知一平頂房間高度為3米，若此燈罩的光源O發出的光線到達該房間水平地面的最大圓面面積為2.25π平方米（假設該水平地面足夠大），則點O到此房間頂端的距離約為（ ）

A．0.3米
B．0.35米
C．0.4米
D．0.45米

Answer 1

【答案】分析：首先判定△OAB是等邊三角形，然后延長OA交地面于點A′，延長OB交地面于點B′，從而得到△OA′B′和△OAB相似，根據光線到達地面圓的面積求出半徑從而得到A′B′的長度，再根據等邊三角形的性質求出點O到A′B′的距離，即可得解．
解答：解：如圖，∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
延長OA交地面于點A′，延長OB交地面于點B′，可得△OA′B′∽△OAB，
設光線到達該房間水平地面的最大圓的半徑為r米，
則πr²=2.25π，
解得r=1.5，
∴A′B′=2r=2×1.5=3米，
根據等邊三角形的性質，點O到A′B′的距離為3×=2.598米，
∴點O到此房間頂端的距離約為3-2.598=0.402≈0.4米．
故選C．
點評：本題考查了相似三角形的應用，等邊三角形的判定與性質，以及圓的面積公式，難度不大，判定出等邊三角形是解題的關鍵．