Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點，連接AE并延長AE交BC的延長線于點F
（1）求證：CF=AD；
（2）若AD=2，AB=8，當BC為多少時，點B在線段AF的垂直平分線上，為什么？

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠F=∠DAE．
又∵∠FEC=∠AED，
∴∠ECF=∠ADE，
∵E為CD中點，
∴CE=DE，
在△FEC與△AED中，
∵，
∴△FEC≌△AED．
∴CF=AD；

（2）解：當BC=6時，點B在線段AF的垂直平分線上，
其理由是：
∵BC=6，AD=2，AB=8，
∴AB=BC+AD．
又∵CF=AD，BC+CF=BF，
∴AB=BF．
∴△ABF是等腰三角形，
∴點B在AF的垂直平分線上．
分析：（1）通過求證△FEC≌△AED來證明CF=AD；
（2）若點B在線段AF的垂直平分線上，則應有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF-CF=8-2=6時有AB=BF．
點評：本題利用了：（1）梯形的性質，（2）全等三角形的判定和性質，（3）中垂線的性質．