Question

你覺得手機很神奇？它能在瞬間清晰地傳遞聲音、文字、圖象等信息，據說以后還能發送味道、觸覺信息呢！這里都有手機中電腦芯片的功勞．其實，這些信號在電腦芯片中都是以二進制的形式給出的．每個二進制數都由0和1構成，電腦芯片上電子元件的“開”、“關”分別代表“1”和“0”．一組電子元件的“開”“關”狀態就表示相應的二進制數．例如“開”“開”“關”表示“110”．
如圖，電腦芯片的某段電路上分布著一組電子元件（假設它們首尾不相連），且相鄰的兩個元件不能同時是關的．（以下各小題要求寫出解答過程）

（1）若此電路上有4個元件，則這4個元件所有不同的“開”“關”狀態共有多少種？（請一一列出）；
（2）若用a_k表示電路上k（k≥1）只電子元件所有不同的“開”“關”狀態數，試探索a_k，a_k+1，a_k+2之間的關系（不要求論證）；
（3）試用（2）中探索出的遞推關系式，計算a₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）電路中一個電路元件2種狀態，電路上有4個元件，則這四個元件有16種狀態，又知相鄰的兩個元件不能同時是關的，于是可以推斷出4個元件所有不同的“開”“關”狀態共有8種，并寫出8種狀態，
（2）當電路有兩個元件時，有不同狀態3種，當電路有三個元件時，有不同狀態5種，當電路有四個元件時，有不同狀態8種，當電路有五個元件時，有不同狀態16種，于是推出ak+2=a_k+a_k+1，
（3）根據遞推關系式分別求出a₆，a₇，a₈，a₉的值，進而求出a₁₀的值．

解答：解：（1）電路中一個電路元件2種狀態，電路上有4個元件，則這四個元件有16種狀態，又知相鄰的兩個元件不能同時是關的，
故可知4個元件所有不同的“開”“關”狀態共有8種，
這8種狀態分別為1111；1110；1101；1011；1010；0111；0110；0101；

（2）當電路有兩個元件時，有不同狀態3種，
當電路有三個元件時，有不同狀態5種，
當電路有四個元件時，有不同狀態8種，
當電路有五個元件時，有不同狀態16種，
于是推理可知ak+2=a_k+a_k+1，

（3）根據遞推關系式可知
a₆=a₅+a₄=24，a₇=a₆+a₅=40，a₈=a₇+a₆=64，
a₉=a₈+a₇=104，a₁₀=a₉+a₈=168．

點評：本題主要考查推理與論證的知識點，解答本題的關鍵是根據電路中不同數量的元件能組成的狀態種數，然后運用推理論證的知識證出一般遞推式，此題有一定的難度．