Question

探索研究：
通過對一次函數、反比例函數的學習．我們積累了一定的經驗．下面我們借鑒以往研究函效的經驗，探索的數y=x+

1

x

（x＞0）的圖象和性質．
（1）填寫下表，畫出函數的圖象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

（2）觀察圖象，寫出函數兩條不同類型的性質：
①

函數兩條不同類型的性質是：當0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當x＞1時，y 隨x的增大而增大；

；
②

當x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

．
知識運用：
一般函數y=x+

a

x

（x＞0，a＞0）也有類似的結論．請利用上面探究函數性質的方法解決下列問題：
己知一個矩形的面積是4．設矩形的一邊長為x．它的周長為y．求y與x的函數關系式，井求出：當x取何值時．矩形的周長最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）把x的值代入解析式計算即可；
（2）根據圖象所反映的特點寫出即可；
（3）根據完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，進行配方成y=2（

x

-

2 x

）²+4

2

即可求出答案．

解答：解：（1）填表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

（函數y=x+

1

x

的圖象如圖：

（2）①答：函數兩條不同類型的性質是：當0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當x＞1時，y 隨x的增大而增大；②當x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．
知識運用：∵設矩形的一邊長為x．它的周長為y．
∴矩形的另一邊為

y-2x

2

，
∵矩形的面積是4，
∴

y-2x

2

•x=4
∴y=2x+

4

x

=2（x+

2

x

）
=2[（

x

）²+(

2 x

)2-2

x

•

2 x

+2

x

•

2 x

]
=2（

x

-

2 x

）²+4

2

∴當

x

=

2 x

時，即x=

2

時，周長有最小值4

2

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了描點法畫函數的圖象的方法，二次函數最值的運用．反比例函數的圖象性質的運用．