Question

已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標，需先求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標；
（3）本問關鍵是求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法可以確定P點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經過點A（3，0）和點B（0，3），
∴，解得a=-1，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）對稱軸為x==1，
令y=-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，∴C（-1，0）．
如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，由于A、C兩點關于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最小．
設直線AB的解析式為y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得k=-1，b=3，
∴直線AB解析式為y=-x+3．
當x=1時，y=2，∴D點坐標為（1，2）．

（3）結論：存在．
如圖2所示，設P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，
過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA-S_△AOB
=（OB+PN）•ON+PN•AN-OA•OB
=（3+y）•x+y•（3-x）-×3×3
=（x+y）-，
∵P（x，y）在拋物線上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△ABP=（x+y）-=-（x²-3x）=-（x-）²+，
∴當x=時，S_△ABP取得最大值．
當x=時，y=-x²+2x+3=，∴P（，）．
所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標為（，）．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、圖形面積的表示方法等重要知識點，難度不是很大．注意第（3）問中圖形面積的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通過其他圖形組合轉化而來-這是壓軸題中常見的技巧，需要認真掌握．