Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t秒．
【小題1】求BC的長
【小題2】當(dāng)MN∥AB時，求t的值
【小題3】試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．

Answer 1

【小題1】如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2分）
【小題2】如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=3．
∴GC=10﹣3=7．
由題意知，當(dāng)M、N運動到t秒時，CN=t，CM=10﹣2t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴，
即．
解得，．（3分）

【小題3】分三種情況討論：
①當(dāng)NC=MC時，如圖③，即t=10﹣2t，
∴．

②當(dāng)MN=NC時，如圖④，過N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三線合一性質(zhì)得
EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC=，
∴．
解得t=．
③當(dāng)MN=MC時，如圖⑤，過M作MF⊥CN于F點．FC=NC=t．
（方法同②），
解得．
綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時，△MNC為等腰三角形．（3分）
解析:
（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求解；
（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識求解．