Question

已知，如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，點P為AB邊上的任意一點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作PE⊥BC，垂足為E，過點E作EF⊥AC，垂足為F，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，設BP=x，AQ=y．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）當BP的長等于多少時，點P與點Q重合．

Answer 1

【答案】分析：（1）設BP=x，利用等邊三角形中，三個角均為60°，三邊長相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的長，利用△BEP∽△AQF，對應邊成比例，求出AP與AQ之間的關系；
（2）點P與點Q重合時，有AQ+AP=AB，代入關系式求解．
解答：解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，設BP=x，
∴BE=，EC=4-，CF=2-，
AF=4-2+=2+，
∵△BEP∽△AQF，
∴，
∴AQ=1+，
∴y=1+（0＜x≤4）；

（2）當x+y=4，x+1+=4，
∴x=3，
∴x=．
故BP為時，P與Q重合．
點評：解題的關鍵是利用銳角三角函數的概念，逐步找到x與y關系．