Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A（，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（），求△ABN的面積S與t的函數關系式；

（3）若且時△OPN∽△COB，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（， ）或（1，2）．

【解析】試題（1）可設拋物線的解析式為，用待定系數法就可得到結論；

（2）當時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數關系式；

（3）由相似三角形的性質可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關于t的方程，解這個方程，就可得到答案．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為，把C（0，1）代入可得： ，∴，∴拋物線的函數關系式為： ，即；

（2）當時， ＞0，∴NP===，

∴S=ABPN==；

（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．

①當時，PN===，PO== ，∴，整理得：，解得： =， =，∵＞0， ＜＜0，∴t=，此時點N的坐標為（， ）；

②當0＜t＜2時，PN===，PO==t，∴，整理得： ，解得： =， =1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．

綜上所述：點N的坐標為（， ）或（1，2）．