Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=8，以AB為直徑作⊙O正好與CD相切于點E．
（1）填空：∠COD=______°；
（2）若設AD=x，BC=y，請求出y關于x的函數關系式；
（3）若梯形ABCD的周長為28，請求出AD的長（假設AD＜BC）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線長定理可知，OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，再由AD∥BC，得∠ADE+∠BCE=180°，由此可得∠ODE+∠OCE=90°，證明結論；
（2）過D點作DF⊥BC，垂足為F，由切線長定理及勾股定理得出y關于x的函數關系式；
（3）由切線長定理可知AD=DE=x，BC=CE=y，由已知周長及（2）中的關系式求x即可．
解答：解：（1）∵DA、DE為⊙O的切線，
∴∠ODE=∠ADE，同理可得∠OCE=∠BCE，
又∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BCE=180°，
∴∠ADE+∠BCE=90°，
即∠ODE+∠OCE=90°，∴∠COD=90°．
故答案為：90；

（2）過D點作DF⊥BC，垂足為F，由切線長定理，得AD=DE=x，BC=CE=y，
在Rt△CDF中，DF=AB=8，CD=CE+DE=x+y，CF=y-x，
由勾股定理，得CD²=CF²+DF²，即（x+y）²=（y-x）²+8²，解得（x＞0）；

（3）由（2）可知2x+2y+8=28，xy=16，
解得x=2，y=8，∴AD=x=2．
點評：本題考查了切線長定理的運用，直角梯形的性質及勾股定理的運用．關鍵是由切線長定理得出角平分線及有關線段的相等關系．