Question

（2009•大連）如圖1，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點，點P在直線BC上，連接EQ交PC于點H．
猜想線段EH與AC的數量關系，并證明你的猜想．說明：如果你經歷反復探索，沒有解決問題，可以從下面①、②中選取一個作為已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得6分．
①AC=BC，DP=DQ，∠C=∠PDQ（如圖2）；
②在①的條件下且點P與點B重合（如圖3

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點F，連接DE，DF．利用三角形中位線性質可知四邊形DFCE是平行四邊形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得，即DF=kDE（DE=BF=BC），可證出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代換就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得證．
（2）和（1）的證法相同．
（3）連接AQ，利用已知條件可證出△DPQ∽△ACB，那么就有∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同樣，△AQC也是直角三角形，HE是斜邊上的高，所以就有EH=AC．
解答：解：結論：EH=AC．（1分）
證明：取BC邊中點F，連接DE、DF．（2分）
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點．
∴DE∥BC且DE=BC，
DF∥AC且DF=AC，（4分）
EC=AC∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）
又∵AC=kBC，∴DF=kDE．
∵DP=kDQ，∴．（7分）
∴△PDF∽△QDE．（8分）
∴∠DEQ=∠DFP．（9分）
又∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC．（10分）
∴EH=EC．（11分）
∴EH=AC．（12分）

選圖2．結論：EH=AC．（1分）
證明：取BC邊中點F，連接DE、DF．（2分）
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，
∴DE∥BC且DE=BC，DF∥AC且DF=AC，（4分）
EC=AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）
又∵AC=BC，∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．（7分）
∴∠DEQ=∠DFP．
∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC （8分）
∴EH=EC．（9分）
∴EH=AC．（10分）

選圖3．結論：EH=AC．（1分）
證明：連接AH．（2分）
∵D是AB中點，∴DA=DB．
∵AC=kBC，DP=kDQ，
∴=k，
又∵∠C=∠PDQ，
∴△ACB∽△PDQ，
∴∠ABC=∠PQD，
∴DB=DQ，
∴DQ=DP=AD，
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°，
∴∠AQB=90°，
∴AH⊥BC．（4分）
又∵E是AC中點，
∴HE=AC．（6分）
點評：本題利用了三角形中位線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識．