Question

如圖1，矩形紙片ABCD的邊長分別為a，b（a＜b），將紙片任意翻折（如圖2），折痕為PQ，（P在BC上），使頂點C落在四邊形APCD內(nèi)一點C′，PC′的延長線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻折，使A落在直線PM上一點A′，且A′M所在直線與PM所在直線重合（如圖3）折痕為MN。

（1）猜想兩折痕PQ，MN之間的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后，兩折痕PQ，MN間的距離有何變化？請說明理由；
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°（如圖4），每次翻折后，非重疊部分的四邊形MC′QD，及四邊形BPA′N的周長與a，b有何關(guān)系，為什么？

Answer 1

解：（1）PQ∥MN
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，且M在AD直線上，則有AM∥BC
∴∠AMP=∠MPC
由翻折可得：，
所以
故。
（2）兩折痕PQ，MN間的距離不變
過P作PH⊥MN，則PH=PM·sin∠PMH，
∵∠QPC的角度不變，
∴∠C'PC的角度也不變，則所有的PM都是平行的
又∵AD∥BC，
∴所有的PM都是相等的
又∵∠PMH=∠QPC，故PH的長不變。
（3）當(dāng)∠QPC=45°時，四邊形PCQC'是正方形，四邊形C'QDM是矩形
∵C'Q=CQ，C'Q+QD=a，
∴矩形C'QDM的周長為2a
同理可得矩形BPA'N的周長為2a，
∴兩個四邊形的周長都為2a，與b無關(guān)。