Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；……；∠An－1BC與∠An－1CD的平分線交于點An，要使∠An的度數為整數，則n的最大值為(　　)

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根據角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根據A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，繼而∠A2＝∠A，因此發現規律，將∠A代入即可求出使∠An的度數為整數，則n的最大值．

由三角形的外角性質可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，

∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，

∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，

∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD ＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，

∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，

∵A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD，

∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，

而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，

∴∠A＝2∠A1，

∴∠A1＝∠A,

同理可得：∠A1＝2∠A2，

∴∠A2＝∠A，

∴∠A＝2n∠An，

∴∠An＝∠A

∵∠A＝48°

∴當n＝4時，∠A4＝×48°＝3°，此時n的值最大，

故選：C