Question

【題目】如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC上的E處，E點坐標為（6，8），拋物線y=ax2+bx+c經過O、A、E三點．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求AD的長；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△PAD的周長最小時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是矩形，B（10，8），

∴A（10，0），

又拋物線經過A、E、O三點，把點的坐標代入拋物線解析式可得

，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（2）

解：由題意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，

設AD=x，則ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，

∴AD=5；

（3）

解：∵y=﹣ x2+ x，

∴其對稱軸為x=5，

∵A、O兩點關于對稱軸對稱，

∴PA=PO，

當P、O、D三點在一條直線上時，PA+PD=PO+PD=OD，此時△PAD的周長最小，

如圖，連接OD交對稱軸于點P，則該點即為滿足條件的點P，

由（2）可知D點的坐標為（10，5），

設直線OD解析式為y=kx，把D點坐標代入可得5=10k，解得k= ，

∴直線OD解析式為y= x，

令x=5，可得y= ，

∴P點坐標為（5， ）

【解析】（1）利用矩形的性質和B點的坐標可求出A點的坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）設AD=x，利用折疊的性質可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到關于x的方程，可求得AD的長；（3）由于O、A兩點關于對稱軸對稱，所以連接OD，與對稱軸的交點即為滿足條件的點P，利用待定系數法可求得直線OD的解析式，再由拋物線解析式可求得對稱軸方程，從而可求得P點坐標．本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質及方程思想．在（2）中注意方程思想的應用，在（3）中確定出滿足條件的P點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點雖然較多，但題目屬于基礎性的題目，難度不大．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．