Question

已知：拋物線y=a（x-2）²+b（ab<0）的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B在點C的左側）。
（1）直接寫出拋物線對稱軸方程；
（2）若拋物線經過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請寫出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線對稱軸方程：x=2； （2）設直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）， ∵拋物線經過原點， ∴B（0，0），C（4，0） ∵△ABC為直角三角形，根據拋物線的對稱性可知AB=AC， ∴AE=BE=EC， ∴A（2，-2）或（2，2）， 當拋物線的頂點為A（2，-2）時，， 把（0，0）代入，得：，此時b=-2， 當拋物線的頂點為A（2，2）時，， 把（0，0）代入，得：，此時b=2， ∴，b=-2或，，b=2； （3）依題意，B、C關于點E中心對稱， 當A，D也關于點E對稱，且BE=AE時， 四邊形ABDC是正方形， ∵， ∴， ∴， 把代入，得ab2+b=0， ∵b≠0， ∴ab=-1。