Question

【題目】如圖，和中，，，，邊與邊交于點（不與點，重合），點，在異側，為的內心．

（1）求證：；

（2）設，用含的式子表示為___________，則求的最大值為_______．

（3）當時，的取值范圍為，則________，________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．

【解析】

（1）由條件易證△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．

（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵點P在線段BC上且不與B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．

（3）I為△APC的內心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．

（1）證明：在和中，（如圖1）

∴

∴

∴

即．

（2）解：．

當時，值最小即的值最大．

∵，

∴

∴

∴的最大值為3．

故答案為：6－x，3；

（3）如圖2，設∠BAP＝α，則∠APC＝α＋30°，

∵∠BAC＝80°，∠B＝30°，

∴∠PCA＝180°－∠BAC－∠B＝70°，∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝80°－α，

∵I為△APC的內心

∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA

∴∠AIC＝180°－（∠IAC＋∠ICA）

＝180°－（∠PAC＋∠PCA）

＝180°－（80°－α＋70°）

＝α＋105°

∵0＜α＜80°，

∴105°＜α＋105°＜145°，即105°＜∠AIC＜145°，

∴m＝105，n＝145．

故答案為：105°，145°．