Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點A（0， a），C（b，0）滿足。

（1）則C點的坐標為__________;A點的坐標為__________．

（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發，P點從C點出發沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點Q到達A點整個運動隨之結束．AC的中點D的坐標是（1,2），設運動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使,若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC=∠FCO, 點G是第二象限中一點，連OG,使得∠AOG=∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H， 當點E在線段OA上運動的過程中，的值是否會發生變化,若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0,4） C（2,0）；（2）存在，t=1；（3）不變，值為2．

【解析】

試題分析：（1）由二次根式和絕對值的非負性求出a,b值，進而知道A,C的坐標；（2）由條件知:點Q到達A點整個運動隨之結束,Q點從O點運動到A點時間為2秒, ∴ 0＜t≤2，點Q在線段AO上,P在線段OC上，∵CP=t ，OC=2， ∴OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐標是（1,2），假設存在，列出△ODP和△ODQ面積相等的式子，看符合條件的t值是否存在；（3）根據已知條件先證明OG∥AC,然后過H點做AC的平行線交OA于M,交OC于N，利用兩直線平行內錯角相等，和三角形外角性質，設法將∠OHC轉化成∠1＋∠2＋∠4，將∠OEC轉化成∠1＋∠4，這樣就求出了所求問題的比值．

試題解析：（1）由二次根式和絕對值的非負性得，b-2=0,∴b=2,a-2b=0,即a-4=0,∴a=4，∴A（0,4） C（2,0）；（2）由條件知：P點從C點運動到O點時間為2秒，Q點從O點運動到A點時間為2秒,點Q到達A點整個運動隨之結束，∴0<t≤2，此時點Q在線段AO上,P在線段OC上，即CP=t ,OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐標是（1,2），∴ ，，，∴2-t=t，∴t=1,符合條件，∴存在這樣的t，使,此時t=1．

先根據已知條件證明OG∥AC ，如圖：∵∠2＋∠3=90 ，∠1=∠2，∠3=∠FCO∴∠1＋∠2＋∠3＋∠FCO=2（∠2＋∠3）=180,∴OG∥AC ,過H點作AC的平行線交OA于M,交OC于N，則OG∥MN∥AC,∴∠GOF=∠1＋∠2=∠OHN,∠NHC=∠4，利用三角形外角性質可得：∠OEC=∠OAC＋∠4=∠1＋∠4，∴∠OHC=∠OHN＋∠NHC=∠1＋∠2＋∠4,∴,∴的值不變．其值為2．