Question

【題目】如圖1，在四邊形中，，，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，平分．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）OE=2．

【解析】

（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義證明AD=CD，從而證明AB=CD，繼而證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）先根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)垂直平分，利用勾股定理求得AO的長(zhǎng)度，從而得出AC的長(zhǎng)度，再利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可求得OE的長(zhǎng)度．

解：（1）∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴,

∴，

又∵

∴

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵

∴平行四邊形ABCD為菱形．

（2）∵四邊形ABCD為菱形，

∴,

又∵，

∴在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，

，

∴，

∵，

∴．