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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結(jié)AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=5cm,△CDE的周長為12cm,求矩形ABCD的面積.

【答案】分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得FE垂直平分AO,EA=EC,則∠EAC=∠ECA,由AE∥CF得∠FCA=∠EAC,則∠FCA=∠ECA,而CO⊥EF,所以CO平分EF,則AC與EF互相垂直平分,然后根據(jù)菱形的判定方法即可得到結(jié)論;
(2)由于EC=EA=5cm,而△CDE的周長為12cm,則DE+DC=7cm,即DE=7-DC,在Rt△DEC中利用勾股定理可求出DC,然后計算矩形的面積.
解答:(1)證明:∵矩形紙片ABCD折疊一次,使點A與點C重合,
∴FE垂直平分AO,EA=EC,
∴∠EAC=∠ECA,
∵AE∥CF,
∴∠FCA=∠EAC,
∴∠FCA=∠ECA,
而CO⊥EF,
∴CO平分EF,
∴AC與EF互相垂直平分,
∴四邊形AFCE是菱形;
(2)解:∵EC=EA=5cm,
而△CDE的周長為12cm,
∴DE+DC=7cm,即DE=7-DC,
∵DE2+DC2=EC2
∴(7-DC)2+DC2=52,解得DC=3或4,
當(dāng)DC=3cm時,DE=4cm,AD=5cm+4cm=9cm,則S矩形ABCD=3×9=27(cm2);
當(dāng)DC=4cm時,DE=3cm,AD=5cm+3cm=8cm,則S矩形ABCD=4×8=32(cm2);
∴S矩形ABCD=27cm2或32cm2
點評:本題考查了折疊問題:折疊前后兩圖形全等,即對應(yīng)線段相等;對應(yīng)角相等.也考查了勾股定理、菱形的判定方法以及矩形的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與C重合,再展開,折精英家教網(wǎng)痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF、CE和EF,設(shè)EF與AC的交點為O.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=2
13
cm
,△ABF的為面積12cm2,求△ABF的周長.

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(2013•樂清市模擬)已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結(jié)AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=5cm,△CDE的周長為12cm,求矩形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結(jié)AF和CE.求證:四邊形AFCE是菱形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),O是對角線AC的中點,過點O的直線EF⊥AC交AD邊于E,交BC邊于F.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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