Question

在平面直角坐標系xOy內，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．把直線y=-x-3沿y軸翻折后恰好經過B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，在坐標軸上是否存在這樣的點F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）如圖，依題意，把直線y=-x-3沿y軸翻折后經過B、C兩點，

∴點B坐標為（3，0），點C的坐標為（0，-3），
∴c=-3．
∴-9+3b-3=0．
解得b=4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．

（2）在坐標軸上存在這樣的點F，使得∠DFB=∠DCB．
拋物線y=-x²+4x-3的頂點D的坐標為（2，1）．
設對稱軸與x軸的交點為點E，
在Rt△DEB中，DE=BE=1，
∴∠DBE=45°．
在Rt△OBC中，OB=OC=3，
∴∠OBC=45°．
∴∠DBC=90°．
在Rt△DBC中，DB=

2

，BC=3

2

，
∴tan∠DCB=

DB

BC

=

1

3

．
∵DE⊥x軸，DE=1，
∴在x軸上存在EF₁=3，EF₂=3．
∴符合題意的點的坐標為F₁（-1，0）或F₂（5，0）
過點D作DF₃⊥y軸于F₃，
∴點F₃的坐標為（0，1）．
∵在Rt△F₃BO中，tan∠F3BO=

OF3

OB

=

1

3

，
又∵DF₃∥x軸，
∴∠DF₃B=∠F₃BO．
∴點F₃（0，1）也是符合題意的點
綜上，符合題意的點F的坐標為（-1，0）、F₂（5，0）或（0，1）．