Question

為了落實中央的惠農政策，積極推進農業機械化，黃岡市某縣政府制定了農戶投資購買農機設備的補貼辦法，其中購買A型、B型農機設備所投資的金額x（萬元）與政府補貼的金額y₁（萬元）、y₂（萬元）的函數關系如圖所示（圖中OA段是拋物線，A是拋物線的頂點）．
（1）分別寫出y₁、y₂與x的函數關系式；
（2）現有一農戶計劃同時對A型、B型兩種農機設備共投資10萬元，設其共獲得的政府補貼金額為y萬元，求y與其購買B型設備投資金額x的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，請你幫該農戶設計一個能獲得最大補貼金額的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象上的點的坐標，利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）根據y=y₁+y₂得出關于x的二次函數．
（3）求出二次函數最值即可．

解答：解：：（1）當0≤x≤4時設y₁=kx，將（4，1.6）代入得：
1.6=4k，
解得：k=0.4，
當k＞4時，設y₁=kx+b，
將點（4，1.6）（8.2.4）代入得：

4k+b=1.6 8k+b=2.4

解得：k=0.2，b=0.8
故y₁=

0.4x(0≤x≤4) 0.2x+0.8(x＞4)

∵頂點A的坐標為（4，3.2），
∴設y₂=a（x-4）²+3.2，
∵經過點（0，0）
∴0=a（0-4）²+3.2
解得a=-0.2，
∴y₂=-0.2（x-4）²+3.2=-0.2x²+1.6x（0≤x≤4）
當x＞4時，y₂=3.2；
（2）假設投資購買B型用x萬元、A型為（10-x）萬元，
當0≤x≤4時：y=y₁+y₂=0.2（10-x）+0.8-0.2x²+1.6x；
=-0.2x²+1.4x+2.8=-0.2（x-3.5）²+3.4125，
當4＜x＜6時：y=y₁+y₂=0.2（10-x）+0.8+3.2=-0.2x+6；
當x≥6時：y=y₁+y₂=0.4（10-x）+3.2=-0.4x+7.2；
（3）當0≤x＜4時：y=-0.2x²+1.4x+2.8=-0.2（x-3.5）²+3.4125，
當4≤x＜6時：y=y₁+y₂=0.2（10-x）+0.8+3.2=-0.2x+6；
∵k＜0，
∴當x取得最小值時有最大值，
∴當x=4時有最大值5.2萬元；
當x≥6時：y=y₁+y₂=0.4（10-x）+3.2=-0.4x+7.2；
∵k＜0，
∴當x取得最小值時有最大值，
∴當x=6時有最大值4.8萬元；
∴當投資B型機械4萬元，A型機械6萬元能獲得最大補貼，最大補貼金額為5.2萬元．

點評：本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出二次函數模型，利用二次函數的知識解決生活中的實際問題．