Question

如圖，已知拋物線y₁=-2x²+2，直線y₂=2x+2，當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．例如：當x=1時，y₁=0，y₂=4，y₁＜y₂，此時M=0．下列判斷：
①當x＜0時，y₁＞y₂；　
②當x＜0時，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是-或．
其中正確的是________．

Answer 1

③④
分析：若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．首先求得拋物線與直線的交點坐標，利用圖象可得當x＜-1時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；當-1＜x＜0時，y₁＞y₂；當x＞0時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；然后根據當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；即可求得答案．
解答：∵當y₁=y₂時，即-2x²+2=2x+2時，
解得：x=0或x=-1，
∴當x＜-1時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；當-1＜x＜0時，y₁＞y₂；當x＞0時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；
∴①錯誤；
∵拋物線y₁=-2x²+2，直線y₂=2x+2，當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；
∴當x＜0時，根據函數圖象可以得出x值越大，M值越大；
∴②錯誤；
∵拋物線y₁=-2x²+2，直線y₂=2x+2，與y軸交點坐標為：（0，2），當x=0時，M=2，拋物線y₁=-2x²+2，最大值為2，故M大于2的x值不存在；
∴使得M大于2的x值不存在，
∴③正確；
∵如圖：當-1＜x＜0時，y₁＞y₂；
∴使得M=1時，y₂=2x+2=1，解得：x=-；
當x＞0時，y₂＞y₁，
使得M=1時，即y₁=-2x²+2=1，解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴使得M=1的x值是-或．
∴④正確；
故答案為：③④．
點評：此題主要考查了二次函數與一次函數綜合應用．注意掌握函數增減性是解題關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．