Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點O(0，0)，點A(5，0)，點B(0，3)．以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC，得到矩形ADEF，點O，B，C的對應點分別為D，E，F．

(Ⅰ)如圖①，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；

(Ⅱ)如圖②，當點D落在線段BE上時， AD與BC交于點H．

①求證△ADB≌△AOB；

②求點H的坐標．

(Ⅲ)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為△KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結果即可)．

Answer 1

【答案】（I）D(1，3)；（II）①詳見解析；②H(，3)；（III）

【解析】

(Ⅰ)在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；

(Ⅱ)①根據HL證明即可；

②首先證明BH=AH，設AH=BH=m，則HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根據AH2=HC2+AC2，構建方程求出m即可解決問題；

(Ⅲ)如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，△D′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；

(Ⅰ)如圖①中，

∵A(5，0)，B(0，3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD=，

∴BD=BC﹣CD=1，

∴D(1，3)；

(Ⅱ)①如圖②中，連結AB，

由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵點D在線段BE上，

∴∠ADB=90°，

∵AD=AO，AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)；

②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，

在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，

設AH=BH=m，則HC=BC﹣BH=5m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+(5m)2，

∴m=，即BH=，

∴H(，3)；

(Ⅲ)如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，

最小值=DEDK=×3×(5)=，

當點D在BA的延長線上時，△D′E′K的面積最大，

最大面積=D′E′KD′=×3×(5+)=．

綜上所述，．