Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，-n），且經過原點O，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m，n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．
（1）m，n的值．
（2）求拋物線的解析式．
（3）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD，BD．當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）解方程即可得出m，n的值．
（2）將A，B兩點的坐標代入，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（3）首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質得出當OC=OP時，當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當OC=PC時分別求出x的值即可．

解答：解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3．

（2）∵m=-1，n=3，
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
∴

-1=a-b -3=9a+3b

，
解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x．

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b．
∴

-1=-k+b -3=3k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

3

2

．
∴C點坐標為（0，-

3

2

）．
∵直線OB過點O（0，0），B（3，-3），
∴直線OB的解析式為y=-x．
∵△OPC為等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
設P（x，-x），
（i）當OC=OP時，x²+（-x）²=

9

4

．
解得x₁=

3 2

4

，x₂=-

3 2

4

（舍去）．
∴P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）．
（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，
∴P₂（

3

4

，-

3

4

）．
（iii）當OC=PC時，由x²+（-x+

3

2

）²=

9

4

，
解得x₁=

3

2

，x₂=0（舍去）．
∴P₃（

3

2

，-

3

2

）．
∴P點坐標為P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

），P₂（

3

4

，-

3

4

），P₃（

3

2

，-

3

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用、待定系數法求函數解析式以及等腰三角形的性質等知識，同時考查了分類思想的應用．