Question

關于的方程2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0有三個實數根分別為α、β、x₀，其中根x₀與m無關．
（1）如（α+β）x₀=-3，求實數m的值．
（2）如α＜a＜b＜β，試比較：

4a-m

a2+1

與

4b-m

b2+1

的大小，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系，根據則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

代入數值計算．
（2）兩式相減求得代數式，設f（x）=2x²mx-2，代入α、β的大小關系，根據其大小關系進行判斷．

解答：解：（1）由2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0得（x+1）（2x²-mx-2）=0，∴x₀=-1，（2分）
α、β是方程2x²-mx-2=0的根∴α+β=

m

2

，
∵（α+β）x₀=-3，所以m=6（4分）

（2）設T=

4b-m

b2+1

-

4a-m

a2+1

=

(b-a)

(a2+1)(b2+1)

(4-4ab+ma+mb)（5分）
∵a＜b，∴b-a＞0，又a²+1＞0，b²+1＞0，∴

(b-a)

(a2+1)(b2+1)

＞0（6分）
設f（x）=2x²mx-2，所以α、β是f（x）=2x²mx-2與x軸的兩個交點，
∵α＜a＜b＜β
∴

f(a)＜0 f(b)＜0

，即

2a2-ma-2＜0 2b2-mb-2＜0

∴ma+mb＞2a²+2b²-4（8分）
∴4-4ab+ma+mb＞2（a-b）²＞0（9分）
∴T＞0，即

4b-m

b2+1

＞

4a-m

a2+1

（10分）

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．