Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，動點P沿A→D→C線路以2cm/秒的速度向C運動，動點Q沿B→C線路以1cm/秒的速度向C運動．P、Q兩點分別從A、B同時出發，當其中一點到達C點時，另一點也隨之停止．設運動時間為t秒，△PQB的面積為ycm²．
（1）求AD的長及t的取值范圍；
（2）當1.5≤t≤t₀（t₀為（1）中t的最大值）時，求y關于t的函數關系式；
（3）請具體描述：在動點P、Q的運動過程中，△PQB的面積隨著t的變化而變化的規律．

Answer 1

解：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°過D作DE⊥BC于E點，如圖所示
∴AB∥DE
∴四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-EC=3cm
點P從出發到點C共需=8（秒），
點Q從出發到點C共需=8秒，
又∵t≥0，
∴0≤t≤8；

（2）當t=1.5（秒）時，AP=3，即P運動到D點
∴當1.5≤t≤8時，點P在DC邊上
∴PC=16-2t
過點P作PM⊥BC于M，如圖所示
∴PM∥DE
∴=即=
∴PM=（16-2t）
又∵BQ=t
∴y=BQ•PM
=t•（16-2t）
=-t²+t，

（3）∵由（2）知y=-t²+t=-（t-4）²+，
即頂點坐標是（4，），拋物線的開口向下，
即拋物線被對稱軸分成兩部分：
在對稱軸的左側（t＜4），△PQB的面積隨著t的增大而（繼續）增大；
在對稱軸的右側（t＞4）時，△PQB的面積隨著t的增大而減小；
即當0≤t≤1.5時，△PQB的面積隨著t的增大而增大；
當1.5＜t≤4時，△PQB的面積隨著t的增大而（繼續）增大；
當4＜t≤8時，△PQB的面積隨著t的增大而減小．
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”寫成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若學生答：當點P在AD上運動時，△PQB的面積先隨著t的增大而增大，當點P在DC上運動時，△PQB的面積先隨著t的增大而（繼續）增大，之后又隨著t的增大而減小．給
③若學生答：△PQB的面積先隨著t的增大而減小給．
分析：（1）過D作DE⊥BC于E點，如圖所示，把梯形的問題轉化為矩形和直角三角形的問題，結合題目的已知條件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的長度，接著就可以求出點P從出發到點C和點Q從出發到點C所需時間，也就求出了t的取值范圍；
（2）首先通過計算確定P的位置在點P在DC邊上，過點P作PM⊥BC于M，如圖所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行線分線段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面積公式即可求出函數關系式；
（3）利用函數關系式結合t的取值范圍可以得到動點P、Q的運動過程中，△PQB的面積隨著t的變化而變化的規律．
點評：此題比較復雜，考查了梯形的性質、直角三角形的性質、矩形的性質、勾股定理及三角形的面積公式等知識，也以動態的形式考查了分類討論的思想，函數的知識，具有很強的綜合性．