Question

如圖，已知拋物線y=2x²-2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；
（2）過點E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點（點M在點N的左側），以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點做平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P、N的坐標；
（3）過點D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點Q（點Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在二次函數的解析式y=2x²-2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0時，求出y=-2，得到OC=2，然后根據三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）先將y=6代入y=2x²-2，求出x=±2，得到點M與點N的坐標，則MN=4，再由平行四邊形的面積公式得到MN邊上的高為2，則P點縱坐標為8或4．分兩種情況討論：①當P點縱坐標為8時，將y=8代入y=2x²-2，求出x的值，得到點P的坐標；②當P點縱坐標為4時，將y=4代入y=2x²-2，求出x的值，得到點P的坐標；
（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：①OB與BD邊是對應邊，②OB與QD邊是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列式計算求出QD的長度即可．
解答：解：（1）∵y=2x²-2，
∴當y=0時，2x²-2=0，x=±1，
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（1，0），AB=2，
又當x=0時，y=-2，
∴點C的坐標為（0，-2），OC=2，
∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2；

（2）將y=6代入y=2x²-2，
得2x²-2=6，x=±2，
∴點M的坐標為（-2，6），點N的坐標為（2，6），MN=4．
∵平行四邊形的面積為8，
∴MN邊上的高為：8÷4=2，
∴P點縱坐標為6±2．
①當P點縱坐標為6+2=8時，2x²-2=8，x=±，
∴點P的坐標為（，8），點N的坐標為（-，8）；
②當P點縱坐標為6-2=4時，2x²-2=4，x=±，
∴點P的坐標為（，4），點N的坐標為（-，4）；

（3）∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，-2），
∴OB=1，OC=2．
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：
①OB與BD邊是對應邊時，△OBC∽△DBQ，
則=，即=，
解得DQ=2（m-1）=2m-2，
②OB與QD邊是對應邊時，△OBC∽△DQB，
則=，即=，
解得DQ=．
綜上所述，線段QD的長為2m-2或．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數圖象上點的坐標特征，三角形、平行四邊形的面積，相似三角形對應邊成比例的性質，綜合性較強，但難度不大，注意要分情況討論求解．