Question

（A類5分）如圖1，平行四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：∠ADE=∠CBF；
（B類6分）如圖2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=DC，連接AC、CE，求證：AC=CE；
（C類7分）如圖3，已知E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過證三角形ADE和CBF全等來解．根據ABCD是平行四邊形可得出一組對應角相等和一組對應邊相等，又有一組直角，因此可證得兩三角形全等．
（2）根據等腰梯形的性質，等腰梯形的對角線相等，我們可連接BD，那么AC=BD，那么只要證BD=CE就行了，由于題中說明了DC平行且相等于BE，因此四邊形DCEB是個平行四邊形，因此可得出BD=CE．
（3）可通過構建全等三角形來證得，連接EC，我們不難得出四邊形GEFC是矩形，由此可得出FG=EC，因此我們只要證AE=EC就可以了，那么就必須證得三角形AEB和CEB全等．根據正方形的性質我們不難得出兩三角形全等的條件．（SAS）
解答：（A類）證明：在?ABCD中AD∥BC，AD=BC；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF；
∵DE⊥ACBF⊥AC，
∴∠AED=∠BFC=90°；
在△ADE和△BCF中．
∴△ADE≌△BCF；
∴∠ADE=∠CBF；

（B類）證明：連接BD；
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD；
又∵DC=BE且DC∥BE，
∴四邊形BECD是平行四邊形；
∴BD=CE；
∴AC=CE；

（C類）證明：連接EC；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCD=90°，
在四邊形EFCG中，
∵EG⊥DC，
∴∠EGC=90°；
同理∠EFC=90°；
∴四邊形EFCG為矩形；
∴EC=GF；
在△ABE和△CBE中
∵．
∴△ABE≌△CBE；
∴AE=CE=FG．
點評：本題主要考查了等腰梯形，正方形，矩形的性質，以及全等三角形的判定，利用全等三角形來證線段相等是常用的方法．