Question

【題目】定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數．

（2）在探究“等對角四邊形”性質時：張同學畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發現CB=CD成立．請你證明此結論；

（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=45°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4 ．則對角線AC的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）

證明：如圖2所示，連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）
【解析】（3）解：分兩種情況：
①當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，如圖3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=45°，AB=5，∴∠E=45°，
∴AE= AB=5 ，
∴DE=AE﹣AD=5 ﹣4 ═ ，
∵∠EDC=90°，∠E=45°，
∴CD= ，
∴AC= = = ；
②當∠BCD=∠DAB=45°時，
過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，如圖4所示：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，
∵∠DAB=45°，
∴∠ADM=45°，
∴AM=DM= AD=4，
∴BM=AB﹣AM=5﹣4=1，
∵四邊形BNDM是矩形，
∴DN=BM=1，BN=DM=4，
∵∠BCD=45°，
∴CN=DN=1，
∴BC=CN+BN=5，
∴AC= =5 ；
故此情況不存在．
綜上所述：AC的長為 ，
所以答案是： ．
（1）根據四邊形ABCD是“等對角四邊形”得出∠D=∠B=80°，根據多邊形內角和定理求出∠C即可；（2）連接BD，由AB=AD，得出∠ABD=∠ADB，證出∠CBD=∠CDB，即可得出CB=CD；（3）分兩種情況：①當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，先用等腰直角三角形的性質求出AE，得出DE，再用三角函數求出CD，由勾股定理求出AC；②當∠BCD=∠DAB=45°時，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性質得出DN=BM=1，BN=DM=4，求出CN、BC，根據勾股定理求出AC即可．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和勾股定理的概念，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．